- 先日、最尤法のバイアスに関する記事を書いた理由は、バンドル調整におけるカメラパラメータの推定のバイアスが、ドーム状変形やボウル状変形といった「系統誤差」（正確には、点群の世界座標に関する系統誤差）と関係がある可能性を疑っているから。
- ただ、これらに必ず関係があるという根拠はない。ドーム状変形などはよく「系統誤差」(systematic error)と言われるが、これは点群の世界座標やそこから作られるDSMなどに関する系統的な誤差であることに注意が必要。つまり、ドーム状変形などが、特定の条件におけるカメラパラメータ推定の系統誤差（バイアス）によるものとは限らない。系統誤差という言葉の使用は慎重にしていきたい。
- 言い換えると、カメラパラメータの推定のばらつき（偶然誤差）が、ドーム状変形など、点群の世界座標に関する系統誤差を生じている可能性もある。
- 偶然誤差（ノイズ）であれ系統誤差（バイアス）であれ、ある具体的な状況でのカメラパラメータの推定誤差が大きそうかどうかを、検証点に頼らずに評価する方法が欲しいというのが、こちらの記事にも書いている関心事だ。
- このテーマに関して、James et al. (2017)は、モンテカルロ法でカメラパラメータなどの推定のばらつきの大きさを評価する方法を提案している。これはこちらの記事にも書いたが、①通常のSfMの結果から、見かけ上誤差のないデータセットを作り、②タイポイントの画素座標などの観測値に正規ノイズを加えてバンドル調整する試行を ③繰り返して統計をとる、というものだ。①の具体的な方法は、例えばMetashapeではアラインメントの後、標定点やカメラの世界座標の実測値をすべて推定値に置き換え（残差をゼロにする）、続いて各タイポイントの画素座標を、世界座標を投影したものに置き換える（再投影誤差をゼロにする）。①が画像のネットワーク (image network)に与える幾何的な影響が無視できるとすれば、気になるのは分散共分散行列による評価と同様に、観測誤差が独立で同じ正規分布に従うと仮定することが適切かという点だ。
- つまり上記3について、「いやいや、分散共分散行列で評価されるよりもはるかに大きいfやK1の誤差が生じるんですよ。だから系統誤差です。」というのは間違いだ。現実には、観測誤差が独立同分布に従うという仮定の不成立性によって、カメラパラメータの推定のばらつき（偶然誤差）が、この仮定を置いた分散共分散行列による評価やJames et al. (2017)による評価よりもはるかに大きくなって、深刻なドーム状変形などを生じる可能性がある。
- この仮定の不成立性は、推定量の不偏性を損なう可能性もあるが、分散の小ささを損なう可能性もあるのだ。どちらにしろ問題になる。そしてその実態は、仮定に従わないという「実際の観測誤差の統計的性質」を知らなければ評価できない。線形回帰分析で標準的仮定の成立性の確認のためによく行われるような、残差の解析が必要になるだろう。
- なお、James et al. (2017)の方法は、観測誤差を独立な正規ノイズと仮定した場合の、カメラパラメータなどのバイアスを推定するのにも使えると考えられる。分散などを評価するついでに平均も一緒に評価するだけで済む。最小二乗法は最尤法ではないので、バイアスが小さいことを確認することにも意義があろう。
James, M. R., Robson, S., and Smith, M. W. (2017) 3-D uncertainty-based topographic change detection with structure-from-motion photogrammetry: precision maps for ground control and directly georeferenced surveys. Earth Surf. Process. Landforms, 42: 1769– 1788. doi: 10.1002/esp.4125.
