カメラパラメータをθ、それらの非線形関数である再投影誤差のRMSをg(θ)で表すと、バンドル調整は、g(θ)を最小化する非線形最小二乗法である。
本研究室ではバンドル調整の数値シミュレーションを多用するが、Critical Configurationによってθの要素の一部、例えばθiが不定となることがある。不定と疑われるθiが本当に不定かどうか、数値的に確認したいとき、どうすればよいのだろうか？
θの真値や最適解からθiだけを1次元に動かして、g(θ) VS θiの散布図を描くのは間違いだ。この方法では、「g(θ)が実はθiの関数ではなかった」というおっちょこちょいな場合を除き、不定性を見つけられないだろう。
なぜかと言えば、あるパラメータの不定性は、他のパラメータとの連動によって成り立つからだ。例えば平行光軸撮影によるfの不定性は、fの推定を誤っても、外部パラメータを連動して誤らせることでg(θ)を増やさずに済むから成り立っている。fだけ変えてg(θ) VS fの散布図を描けば、見事な谷が見えるだろう。
同じ意味で、g(θ)のθiによる二階偏微分が0かどうかを調べるのも間違いだ。θiの不定性とは言っても、θiを含む多数のパラメータが連動することで生じている不定性を、代表してθiの不定性とみなそうとしているわけなのだから、θiだけ見ていても真実は見えない。
ではどうすればよいのか？私が使えている方法は、次のようなものだ。
- 最適解における分散共分散行列において、θiの分散が非常に大きいかを調べる。
- 最適化を実施したときの目的関数値が、θiを誤った値に固定した場合とθiを正しい値に固定した場合で、有意に変わらないかを調べる。
- θiに誤った初期値を与えて最適化を実施したとき、明らかに誤った値に収束するかを調べる。
1はストレートだが、分散共分散行列を数値的に適切に求められるよう、方法に注意が必要だ。
2では、その他の誤差要因の影響がある限り、誤った値に固定した場合を何ケースが実施して、正しい場合より有意に大きいかどうかを判断する必要がある。
3で自信が持てるのは、その他の誤差要因や多峰性の影響を取り除ける場合に限られる。
